Question

5．已知函数f（x）=$\frac{{{x^2}+1}}{x}$，
（1）求f（x）的定义域；
（2）证明f（x）函数为奇函数；
（3）判别并证明函数在区间（-∞，-1）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据函数成立的条件即可求函数的定义域．
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
（3）根据函数单调性的定义进行判断和证明．

解答 解：（1）要使函数有意义，则x≠0，即f（x）的定义域为{x|x≠0}；
（2）f（-x）=$\frac{{x}^{2}+1}{-x}$=-$\frac{{{x^2}+1}}{x}$=-f（x），
则f（x）函数为奇函数；
（3）f（x）=$\frac{{{x^2}+1}}{x}$=x+$\frac{1}{x}$，
设x₁＜x₂＜-1，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁＜x₂＜-1，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，
则x₁x₂-1＞0，
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
则f（x₁）＜f（x₂），
即函数在区间（-∞，-1）上的单调性．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用定义法是解决本题的关键．