Question

16．如果函数f（x）是定义在R上的奇函数，判断下列函数的奇偶性．
（1）y=xf（x）；
（2）y=x²f（x）；
（3）y=f²（x）；
（4）y=$\frac{f（x）}{{x}^{2}+1}$．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义进行判断即可．

解答 解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
设g（x）=xf（x）；
则g（-x）=-xf（-x）=xf（x）=g（x）．则函数为偶函数．
（2）设g（x）=x²f（x），
g（-x）=x²f（-x）=-x²f（x）=-g（x）；则函数为奇函数．
（3）设g（x）=f²（x），
则g（-x）=[f（-x）]²=f²（x）=g（x），
则函数为偶函数．
（4）设g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}+1}$，
则g（-x）=$\frac{f（-x）}{x^2+1}$=$\frac{-f（x）}{x^2+1}$=-g（x）．
则函数为奇函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．