Question

已知数列{a_n}各项均为正数，前n项和S_n满足，（n∈N*），数列{b_n}满足：点列A_n（n，b_n）在直线2x-y+1=0
（Ⅰ）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记T_n为数列{c_n}的前n项和，且，求T_n；
（Ⅲ）若对任意的n∈N^*不等式恒成立，求正实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，知，，两式相减整理得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，点A_n（n，b_n）在直线l：y=2x+1上，由此能求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由，知T_n=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）•2ⁿ，由错位相减法能求出T_n．
（Ⅲ）对任意的n∈N^*，不等式恒成立，令f（n）=，由此能求出正实数a的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由已知，
∴（1）
当n≥2时，（2）
两式相减整理得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，----（2分）
注意到a_n＞0，∴a_n-a_n-1-1=0，∴a_n=n+2，
又当n=1时，a₁=S₁，解得a₁=3适合，∴a_n=n+2，----（3分）
点A_n（n，b_n）在直线l：y=2x+1上，∴b_n=2n+1．----（4分）
（Ⅱ）∵，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）•2ⁿ
∴，
错位相减得．----（8分）
（Ⅲ）∵对任意的n∈N*不等式恒成立，
由a＞0，即，---（9分）
令f（n）=，--（10分）
∴f（n+1）=，
∴f（n+1）＞f（n），f（n）单调递增，----（12分）
．∴．----（14分）
点评：本题考查数列的通项公式、前n项和公式和实数的取值范围的求法，考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．