Question

8．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}$＞0，则不等式$f（x+\frac{1}{2}）＜f（1-x）$的解集为$[0，\frac{1}{4}）$．

Answer 1

分析 由题意，f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，有$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}$＞0，可知[f（m）+f（n）]×（m+n）＞0．可解不等式．

解答 解：由题意，f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，有$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}$＞0，可知[f（m）+f（n）]×（m+n）＞0．
不等式$f（x+\frac{1}{2}）＜f（1-x）$转化为：$f（x+\frac{1}{2}）$-f（1-x）＜0，等价于$f（x+\frac{1}{2}）+f（x-1）＜0$，
那么有$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x+\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤1-x≤1}\\{x+\frac{1}{2}+x-1＜0}\end{array}\right.$，解得：$0≤x＜\frac{1}{4}$
∴不等式的解集为$[0，\frac{1}{4}）$．
故答案为：$[0，\frac{1}{4}）$．

点评 本题考查了函数的性质的运用，转化思想．属于中档题．