Question

3．在等差数列{a_n}中，前n项和为S_n．
（1）若a₅+a₁₅=20，求S₁₉；
（2）若S₁₀=0，a₁₅=25，求nS_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列性质及其前n项和公式即可得出；
（2）利用等差数列通项公式及其前n项和公式即可得出S_n；再利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，∴a₅+a₁₅=a₁+a₁₉=20，
∴S₁₉=$\frac{19（{a}_{1}+{a}_{19}）}{2}$=$\frac{19×20}{2}$=190．
（2）设等差数列{a_n}的公差为d．
∵S₁₀=0，a₁₅=25，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d=0}\\{{a}_{1}+14d=25}\end{array}\right.$，
解得a₁=$-\frac{225}{19}$，d=$\frac{50}{19}$．
∴S_n=$-\frac{225}{19}n$+$\frac{n（n-1）}{2}×\frac{50}{19}$=$\frac{25}{19}$（n²-10n），
∴nS_n=$\frac{25}{19}$（n³-10n²），
令f（x）=x³-10x²（x≥1）．
∴f′（x）=3x²-20x=3x$（x-\frac{20}{3}）$，
∴函数f（x）在$[1，\frac{20}{3}）$上单调递减；函数f（x）在$（\frac{20}{3}，+∞）$上单调递增．
f（6）=6³-10×6²=-96，f（7）=7³-10×7²=-147．
∴nS_n的最小值是$\frac{25}{19}$×（-147）=$-\frac{3675}{19}$．

点评 本题考查了等差数列的性质通项公式及其前n项和公式、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．