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(本小题满分14分)设二次函数满足下列条件:

①当∈R时,的最小值为0,且f (-1)=f(--1)成立;

②当∈(0,5)时,≤2+1恒成立。

(1)求的值;    

(2)求的解析式;

(3)求最大的实数m(m>1),使得存在实数t,只要当时,就有成立。

 

【答案】

解: (1)在②中令x=1,有1≤f(1)≤1,故f(1)=1…………………………3分

(2)由①知二次函数的关于直线x=-1对称,且开口向上

故设此二次函数为f(x)=a(x+1)2,(a>0),∵f(1)=1,∴a=

∴f(x)= (x+1)2                        …………………………7分

 

(3)假设存在t∈R,只需x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.

f(x+t)≤x(x+t+1)2≤xx2+(2t-2)x+t2+2t+1≤0.

 

令g(x)=x2+(2t-2)x+t2+2t+1,g(x)≤0,x∈[1,m].

 

∴m≤1-t+2≤1-(-4)+2=9

t=-4时,对任意的x∈[1,9]

恒有g(x)≤0, ∴m的最大值为9.       ………………………… 14分

【解析】略

 

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3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)

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π
2
]  时,求函数f(x)
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⑴ 求满足的关系式;

⑵ 若上恒成立,求的取值范围;

⑶ 证明:

 

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