Question

已知对任意平面向量

AB

=(x，y)，将

AB

绕其起点沿顺时针方向旋转θ角得到向量

AP

=(xcosθ+ysinθ，-xsinθ+ycosθ)，叫做将点B绕点A沿顺时针方向旋转θ角得到点P．
（1）已知平面内点A（1，2），点B(1+

2

，2-2

2

)，将点B绕点A沿顺时针方向旋转

π

4

得到点P，求点P的坐标；
（2）设平面内曲线3x²+3y²+2xy=4上的每一点绕坐标原点O沿顺时针方向旋转

π

4

得到的点的轨迹是曲线C，求曲线C的方程；
（3）过（2）中曲线C的焦点的直线l与曲线C交于不同的两点A、B，当

OA

•

OB

=0时，求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）利用题中的新定义，可先计算

AB

，

AP

，已知A（1，2），利用向量的减法求P
（2）结合题中的条件，利用“相关点法”求曲线C的方程
（3）设出过焦点的直线方程：y=kx+1，联立直线

y=kx+1 x2+ y2 2 =1

整理可得（2+k²）x²+2kx-1=0，设A （x₁，y₁）  B（x₂，y₂）
由

OA

•

OB

=0⇒x₁•x₂+y₁•y₂=0代入可求k值

解答：解：（1）由已知可得

AB

=(

2

，-2

2

)，
将点B（(1+

2

，2-2

2

)，绕点A顺时针旋转

π

4

，
得

AP

=(

2

cos 

π

4

-2

2

sin

π

4

， -

2

sin

π

4

- 2

2

cos

π

4

)=（-1，-3）
∴P（0，-1 ）
（2）设M（x，y）是已知曲线上的任意一点，
绕原点O沿顺时针旋转

π

4

得到的点M₁（x₁，y₁）在所求的曲线C上
由题意得

x1= 2 2 x+ 2 2 y y1=- 2 x 2 + 2 y 2

⇒

x= 2 2 (x1-y1)  y= 2 2 (x1+y1)

代入已知曲线整理可得，x12+

y12

2

= 1，为曲线C的方程

（3）由（2）知曲线C的焦点（0，1）（0，-1），由题意可知直线l的斜率k存在
当直线过E（0，1）时，可设直线l的方程为：y=kx+1
联立

y=kx+1 x2+ y2 2 =1

⇒（2+k²）x²+2kx-1=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则x1+x2=

-2k

2+k2

  x1•x2= 

-1

2+k2

∴y₁•y₂=（kx₁+1）•（kx₂+1）=k²x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1
=

-2k2+2

2+k2

∵

OA

⊥

OB

  
∴

OA

• 

OB

=x1x2+y1y2 =0
∴

2-2k2

2+k2

+

-1

2+k2

=0∴k=±

2

2

∵|x1-x2|  =

(x1+x2)2-4x 1• x2

=

4 3

5

S△ABC=

1

2

|x1-x2| • OE=

1

2

× 

4 3

5

×1=

2 3

5

当过点（0，-1）同理可得S△ABC=

2 3

5

点评：本题以新定义为切入点，融合了向量的加减法的几何意义及向量垂直的条件，利用“相关点法”求轨迹方程，及直线和椭圆的位置关系的综合运用，是一道综合性较好的题目．