Question

（2012•青浦区一模）设m＞3，对于项数m的有穷数列{a_n}，令b_k为a₁，a₂，…，a_k（k≤m）中最大值，称数列{b_n}为{a_n}的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数1，2，…，m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{c_n}．
（1）若m=4，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列{c_n}；
（2）是否存在数列{c_n}的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由．
（3）是否存在数列{c_n}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列{c_n}的个数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，创新数列为3，4，4，4的所有数列{c_n}有两，即3，4，1，2和3，4，2，1．
（2）设数列{c_n}的创新数列为{e_n}，因为e_m为前m个自然数中最大的一个，所以e_m=m，经检验，只有公比q=1时，数列{c_n}才有唯一的一个创新数列．
（3）设存在数列{c_n}，使它的创新数列为等差数列，当d=0时，{e_m}为常数列，满足条件；数列{c_n}是首项为m的任意一个排列，共有

A

m-1 m-1

个数列．当d=1时，符合条件的数列{e_m}只能是1，2，3…m，此时数列{c_n}是1，2，3…m，有1个．d≥2时，{e_m} 不存在．由此得出结论．

解答：解：（1）由题意可得，创新数列为3，4，4，4的所有数列{c_n}有两个，即3，4，1，2和3，4，2，1．   （4分）
（2）存在数列{c_n}的创新数列为等比数列．…（5分）
设数列{c_n}的创新数列为{e_n}，因为e_m为前m个自然数中最大的一个，所以e_m=m．   …（6分）
若{e_m}为等比数列，设公比为q，因为 e_k+1≥e_k （k=1，2，3…m-1），所以q≥1．…（7分）
当q=1时，{e_m}为常数列满足条件，即为数列为常数数列，每一项都等于m．    …（9分）
当q＞1时，{e_m}为增数列，符合条件的数列只能是1，2，3…m，又1，2，3…m不满足等比数列，综上符合条件的创新数列只有一个． …（10分）
（3）设存在数列{c_n}，使它的创新数列为等差数列，…（11分）
设数列{c_n}的创新数列为{e_m}，因为e_m为前m个自然数中最大的一个，所以e_m=m．若 {e_m}为等差数列，设公差为d，
因为 e_k+1≥e_k （k=1，2，3…m-1），所以 d≥0．且d∈N^*． …（12分）
当d=0时，{e_m}为常数列，满足条件，即为数列 e_m=m，
此时数列{c_n}是首项为m的任意一个排列，共有

A

m-1 m-1

个数列；      …（14分）
当d=1时，符合条件的数列{e_m}只能是1，2，3…m，此时数列{c_n}是1，2，3…m，有1个；                                                     …（15分）
当d≥2时，∵e_m=e₁+（m-1）d≥e₁+2（m-1）=e₁+m+m-2 又 m＞3，∴m-2＞0．
∴e_m＞m 这与 e_m=m矛盾，所以此时{e_m} 不存在．    …（17分）
综上满足条件的数列{c_n}的个数为（m-1）!个．  …（18分）

点评：本题主要考查等差关系的确定，等比关系的确定，创新数列的定义，属于中档题．