Question

10．已知实数a＞0，函数f（x）=ax（x-2）²（x∈R）有极大值3．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可求单调区间．
（2）先将函数f（x）展开，然后对函数f（x）进行求导，令导函数等于0求x的值，再由函数的单调性进行验证从而最终确定答案．

解答 解：（1）∵f（x）=ax（x-2）²=ax³-4ax²+4ax，
∴f′（x）=3ax²-8ax+4a．
由f′（x）=0，得3ax²-8ax+4a=0．
∵a≠0，∴3x²-8x+4=0．
解得x=2或x=$\frac{2}{3}$．
当x＜$\frac{2}{3}$或x＞2时，f′（x）＞0，∴函数f（x）单调递增
当 $\frac{2}{3}$＜x＜2时，f′（x）＜0，∴函数f（x）单调递减
f（x）在（-∞，$\frac{2}{3}$）和（2，+∞）上是增函数，在（ $\frac{2}{3}$，2）上是减函数．
（2）∵f（x）=ax（x-2）²=ax³-4ax²+4ax，
∴f′（x）=3ax²-8ax+4a．
由f′（x）=0，得3ax²-8ax+4a=0．
∵a≠0，∴3x²-8x+4=0．
解得x=2或x=$\frac{2}{3}$．
∵a＞0，∴x＜$\frac{2}{3}$或x＞2时，f′（x）＞0； $\frac{2}{3}$＜x＜2时，f′（x）＜0．
∴当x=$\frac{2}{3}$时，f（x）有极大值32，即a×$\frac{2}{3}$（$\frac{2}{3}$-2）²=3，
∴a=$\frac{81}{32}$．

点评 本题主要考查函数的极值、单调性与其导函数之间的关系．考查分析问题解决问题的能力，属中档题．