Question

过双曲线

x2

2

-y2=1上一点P（2，1）作两条相互垂直的直线PA，PB交双曲线于另外两点A，B，求证AB直线恒过定点．

Answer 1

分析：若直线PA的斜率存在，设方程为y-1=k（x-2），将其与双曲线方程联解得到点A关于k的坐标形式，同理得到点B关于k的坐标形式．由直线方程的两点式列式得到直线AB含有参数k的形式，化简后取特殊的k值找到可能经过的定点为P（6，-3），再代入方程加以检验可得所有的直线AB都经过点P．在直线PA的斜率不存在时，易得AB的方程为y=-

1

2

x，直线也经过上述的P点．由此即可得到直线AB恒经过定点P，其坐标为（6，-3）．

解答：解：①当直线PA的斜率存在时，设直线PA的方程为y-1=k（x-2），
由

y-1=k(x-2) x2 2 -y2=1

消去y，得（1-2k²）x²-4k（1-2k）x-2（4k²-4k+2）=0
设A（m，n），可得

m+2= 4k(1-2k) 1-2k2 2m= -2(4k2-4k+2) 1-2k2

，解得m=

4k2-4k+2

2k2-1

，n=

-2k2+4k-1

2k2-1

，
∴点A的坐标为（

4k2-4k+2

2k2-1

，

-2k2+4k-1

2k2-1

），同理算出B的坐标为（

2k2+4k+4

2-k2

，

-k2-4k-2

2-k2

），
因此，直线AB的方程为

y- -2k2+4k-1 2k2-1

-k2-4k-2 2-k2 - -2k2+4k-1 2k2-1

=

x- 4k2-4k+2 2k2-1

2k2+4k+4 2-k2 - 4k2-4k+2 2k2-1

，化简得
（

2k2+4k+4

2-k2

-

4k2-4k+2

2k2-1

）（y+

2k2-4k+1

2k2-1

）=（

-k2-4k-2

2-k2

+

2k2-4k+1

2k2-1

）（x-

4k2-4k+2

2k2-1

）
即

8k4+4k3+4k-8

(2-k2)(2k2-1)

（y+

2k2-4k+1

2k2-1

）=

-4k4-4k3-4k+4

(2-k2)(2k2-1)

（x-

4k2-4k+2

2k2-1

）
即（2k⁴+k³+k-2）（y+

2k2-4k+1

2k2-1

）=（-k⁴-k³-k+1）（x-

4k2-4k+2

2k2-1

）
取k=1，化简得直线AB方程为y=-x+3；取k=2，化简得直线AB方程为y=-

5

8

x+

3

4

．
∵直线y=-x+3与直线y=-

5

8

x+

3

4

相交于点P（6，-3），∴猜想所有的直线AB经过点P（6，-3），
∵将P（6，-3）代入直线方程，得左右两边相等，∴直线AB恒经过定点P（6，-3）．
②当直线PA的斜率不存在时，可得A（2，-1），B（-2，1），
此时直线AB的方程为y=-

1

2

x，得直线经过上述的P点．
综上所述，可得直线AB恒经过定点P，其坐标为（6，-3）．

点评：本题给出双曲线上的定点P与互相垂直的弦PA、PB，求证直线AB经过定点．着重考查了直线的基本量与基本形式、双曲线的标准方程与简单几何性质和直线与圆锥曲线的关系等知识，属于中档题．