Question

已知f（x）=x³-3x，过点A（1，m） （m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-1，1）
B．（-2，3）
C．（-1，2）
D．（-3，-2）

Answer 1

【答案】分析：先设切点坐标，用导数求出切线斜率，再用斜率公式求出切线斜率，两者相等，得到含m的方程，因为过点A（1，m） （m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，所以前面所求方程有3解，再借助导数判断何时方程有3解即可．
解答：解；设切点坐标（x，x³-3x），
∵f（x）=x³-3x，∴f′（x）=3x²-3
∴曲线y=f（x）在（x，x³-3x）处的切线斜率为3x²-3
又∵切线过点A（1，m），∴切线斜率为，
∴=3x²-3
即2x³-3x²+m+3=0  ①
∵过点A（1，m） （m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴方程①有3解．
令ω（x）=2x³-3x²+m+3，则ω（x）图象与x轴有2个交点，∴ω（x）的极大值与极小值异号
ω′（x）=6x²-6x，令ω′（x）=0，得6x=0或1
∴ω（0）ω（1）＜0，即（m+3）（m+2）＜0
-3＜m＜-2
故选D
点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数判断方程根的个数．