Question

【题目】在直三校柱中，是等直角三角形，，，M是AB的中点，且．

（1）求的长；

（2）已知点N在棱上，若平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值为，试确定点N的位置．

Answer 1

【答案】（1）；（2）N在棱的中点处．

【解析】

（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用直线垂直向量的数量积为0，可得关于的方程，解方程即可得答案；

（2）由（1）知，设，所以，，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量为，再代入向量的夹角公式，即可得答案；

（1）建立如图所示的空间直角坐标系．

设．

由得，

则，，，，

所以，．

因为，所以，

解得，即的长为．

（2）由（1）知

设，所以，．

设平面的一个法向量为．

由，得，取．

易知平面的一个法向量为，

设平面与平面所成锐二面角的平面角为，

．

解得或（舍去）

所以N在棱的中点处．