Question

【题目】已知在三棱台中，，，平面．

（1）证明；

（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）在中，先通过勾股定理的逆定理得出，然后利用线面垂直的判定定理和性质定理进行证明即可；（2）先根据题意找到所求的线面角，然后解三角形，得到所求线面角的正弦值．

（1）证明∵，，

∴，

∴．

∵平面，平面平面，∴平面．

又平面，∴．

∵，平面，平面，∴平面．

∵平面，∴．

（2）解：过作于点，∵平面，平面，∴．

又，平面，平面，

∴平面，

连接，则即直线与平面所成的角．

在三棱台中，∵，平面，

∴，，由（1）知为直角三角形，

∴为直角三角形．

又为的中点，∴，

∴为等边三角形，为的中点，∴，

∴，

即直线与平面所成角的正弦值为．