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    【题目】函数的图象过点，且相邻两个最高点与最低点的距离为．

    （1）求函数的解析式和单调增区间；

    （2）若将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，求在上的值域．

    【答案】（1）；；（2）

    【解析】

    （1）根据相邻两个最高点和最低点的距离，建立方程，求出，利用已知点，求出，可得函数的解析式，利用正弦函数的单调增区间，可得结论；（2）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，根据角的范围，利用正弦函数的性质即可得出结论．

    （1）相邻两个最高点和最低点的距离为，可得，解得，，

    在函数图象上，

    ，

    ．

    由，得，

    的单调增区间为．

    （2）向左平移个单位长度得，

    图象上所有点的横坐标变为原来的得，

    当时，，，

    ，

    在上的值域为．

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    【题目】已知函数.

    （1）若存在极值，求实数a的取值范围；

    （2）设，设是定义在上的函数.

    （ⅰ）证明：在上为单调递增函数(是的导函数)；

    （ⅱ）讨论的零点个数.

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    【题目】已知在三棱台中，，，平面．

    （1）证明；

    （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】秉承“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市环保部门通过制定评分标准，先对本市50%的企业进行评估，评出四个等级，并根据等级给予相应的奖惩，如下表所示：

    评估得分

    评定等级

    不合格

    合格

    良好

    优秀

    奖励（万元）

    20

    40

    80

    （1）环保部门对企业抽查评估完成后，随机抽取了50家企业的评估得分（分）为样本，得到如下频率分布表：

    评估得分

    频率

    0.04

    0.10

    0.20

    0.12

    其中、表示模糊不清的两个数字，但知道样本评估得分的平均数是73.6.现从样本外的数百个企业评估得分中随机抽取3个，若以样本中频率为概率，求至少有两家企业的奖励不少于40万元的概率；

    （2）某企业为取得一个好的得分，在评估前投入80万元进行技术改造，由于技术水平问题，被评定为“合格”“良好”和“优秀”的概率分别为，和，且由此增加的产值分别为20万元，40万元和60万元.设该企业当年因改造而增加的利润为万元，求的数学期望.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】秉承“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市环保部门通过制定评分标准，先对本市的企业进行评估，评出四个等级，并根据等级给予相应的奖惩，如下表所示：

    评估得分

    评定等级

    不合格

    合格

    良好

    优秀

    奖励（万元）

    环保部门对企业评估完成后，随机抽取了家企业的评估得分（分）为样本，得到如下频率分布表：

    评估得分

    频率

    其中、表示模糊不清的两个数字，但知道样本评估得分的平均数是.

    （1）现从样本外的数百个企业评估得分中随机抽取个，若以样本中频率为概率，求该家企业的奖励不少于万元的概率；

    （2）现从样本“不合格”、“合格”、“良好”三个等级中，按分层抽样的方法抽取家企业，再从这家企业随机抽取家，求这两家企业所获奖励之和不少于万元的概率.

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    【题目】如图，正三棱柱的每条棱的长度都相等，，分别是棱，的中点，是棱上一点，且平面.

    （1）证明：平面.

    （2）求直线与平面所成角的正弦值．

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    【题目】已知函数在上单调，且函数的图象关于直线对称，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前100项的和为（ ）

    A. 300B. 100C. D.

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    【题目】已知函数， .

    （1）当时，求曲线在点处的切线方程；

    （2）当时，求在区间上的最大值和最小值；

    （3）当时，若方程在区间上有唯一解，求的取值范围.

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    【题目】已知函数.

    （1）在所给的坐标纸上作出函数的图像（不要求写出作图过程）；

    （2）令， 求函数的定义域及不等式的解集.

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