Question

15．已知点A的坐标为（4，2），F是抛物线y²=2x的焦点，点M是抛物线上的动点，当|MF|+|MA|取得最小值时，点M的坐标为（2，2）．

Answer 1

分析 求出焦点坐标和准线方程，把|MF|+|MA|转化为|MA|+|PM|，利用 当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值，把y=2代入抛物线y²=2x 解得x值，即得M的坐标．

解答 解：由题意，F（$\frac{1}{2}$，0），准线方程为x=-$\frac{1}{2}$，
设M到准线的距离d=|PM|，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，
故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=4-（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{9}{2}$．
把 y=2代入抛物线y²=2x 得 x=2，故点M的坐标是（2，2），
故答案为：（2，2）

点评 本题考查抛物线的定义和性质应用，解答的关键利用是抛物线定义，体现了转化的数学思想．