Question

数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2n-a_n（n∈N^*），
（1）计算a₁，a₂，a₃，a₄；   
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用S_n=2n-a_n，代入计算，可得结论；
（2）猜想a_n=

2n-1

2n-1

（n∈N^*），然后利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2-a₁，∴a₁=1．
当n=2时，a₁+a₂=S₂=2×2-a₂，∴a₂=

3

2

．
当n=3时，a₁+a₂+a₃=S₃=2×3-a₃，∴a₃=

7

4

．
当n=4时，a₁+a₂+a₃+a₄=S₄=2×4-a₄，∴a₄=

15

8

．
（2）猜想a_n=

2n-1

2n-1

（n∈N^*）．
证明：①当n=1时，a₁=1，结论成立．
②假设n=k（k≥1且k∈N^*）时，结论成立，即a_k=

2k-1

2k-1

，
那么n=k+1时，
a_k+1=S_k+1-S_k=2（k+1）-a_k+1-2k+a_k=2+a_k-a_k+1．
∴2a_k+1=2+a_k，
∴a_k+1=

2+ak

2

=

2k+1-1

2k

，
这表明n=k+1时，结论成立，
由①②知猜想a_n=

2n-1

2n-1

（n∈N^*）成立．

点评：此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而得证，这是数列的通项一种常用求解的方法．