Question

是否存在常数a，b 使得2+4+6+…+（2n）=an²+bn对一切n∈N^*恒成立？若存在，求出a，b的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：先假设存在符合题意的常数a，b，再令n=1，n=2构造两个方程求出a，b，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，递推到n=k+1时，成立即可．

解答： 解：取n=1和2，得

2=a+b 2+4=4a+2b

解得

a=1 b=1

，…（4分）
即2+4+6+…+（2n）=n²+n．
以下用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证．…（6分）
（2）假设当n=k，k∈N^*时等式成立即2+4+6+…+（2k）=k²+k …（8分）
那么，当n=k+1 时有2+4+6+…+（2k）+（2k+2）=k²+k+（2k+2）…（10分）
=（k²+2k+1）+（k+1）=（k+1）²+（k+1）…（12分）
就是说，当n=k+1 时等式成立…（13分）
根据（1）（2）知，存在

a=1 b=1

，使得任意n∈N^*等式都成立…（15分）

点评：本题主要考查研究存在性问题和数学归纳法，对存在性问题先假设存在，再证明是否符合条件，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立．