Question

椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，一条直线l经过点F₁与椭圆交于A，B两点．
（1）求△ABF₂的周长；
（2）若l的倾斜角为

π

4

，求△ABF₂的面积．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的定义，得AF₁+AF₂=2a，BF₁+BF₂=2a，又AF₁+BF₁=AB，所以，△ABF₂的周长=AB+AF₂+BF₂=4a．再由a²=4，能导出△ABF₂的周长．
（2）由F₁（-1，0），AB的倾斜角为

π

4

，知直线AB的方程为y=x+1．由

y=x+1 x2 4 + y2 3 =1

消去x，得7y²-6y-9=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），借助韦达定理能够求出△ABF₂的面积．

解答：解：（1）由椭圆的定义，
得AF₁+AF₂=2a，BF₁+BF₂=2a，
又AF₁+BF₁=AB，
所以，△ABF₂的周长=AB+AF₂+BF₂=4a．
又因为a²=4，
所以a=2，
故△ABF₂的周长为8．（6分）
（2）由条件，得F₁（-1，0），
因为AB的倾斜角为

π

4

，所以AB斜率为1，
故直线AB的方程为y=x+1．（8分）
由

y=x+1 x2 4 + y2 3 =1

，
消去x，得7y²-6y-9=0，（10分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
解得y1+y2=

6

7

，y1•y2=-

9

7

．
所以S△ABF2=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=

1

2

×2×

(y1+y2)2-4y1y2

=

12 2

7

（14分）

点评：本题考查三角形周长的求法和三角形面积的计算，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质，注意椭圆定义、韦达定理在解题中的合理运用．