Question

已知B（-1，1）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，且点B到椭圆的两个焦点距离之和为4；
（1）求椭圆方程；
（2）设A为椭圆的左顶点，直线AB交y轴于点C，过C作斜率为k的直线l交椭圆于D，E两点，若

S△CBD

S△CAE

=

1

6

，求实数k的值．

Answer 1

分析：（1）利用点B到椭圆的两个焦点距离之和为4，求出a的值，代入B的坐标，求出b的值，即可求出椭圆的方程；
（2）利用

S△CBD

S△CAE

=

1

6

，得出

|CD|

|CE|

=

1

3

，分类讨论，即可求得结论．

解答：解：（1）由题意，2a=4，∴a=2，
∵B（-1，1）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，
∴

1

4

+

1

b2

=1
∴b2=

4

3

∴椭圆方程为

x2

4

+

3y2

4

=1
（2）由题意A（-2，0），B（-1，1），则AB的方程为y=x+2，
∴C（0，2），∴

|CB|

|CA|

=

1

2

∵

S△CBD

S△CAE

=

1

6

，∴

|CD|

|CE|

=

1

3

，
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则x₂=3x₁，
若CD斜率不存在，方程为x=0，D（0，

2

3

），E（0，-

2

3

），
∴

|CD|

|CE|

=

3 -1

3 +1

≠

1

3

，
若CD斜率存在，设y=kx+2，代入椭圆方程，得到（3k²+1）x²+12kx+8=0
∴x₁+x₂=

-12k

3k2+1

，x₁x₂=

8

3k2+1

∵x₂=3x₁，
∴k=±

2 6

3

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．