【题目】如图,长方体中,
,
,点E是线段AB中点.
证明:
;
求二面角
的大小的余弦值;
求A点到平面
的距离.
【答案】(1)详见解析 (2)(3)
【解析】
试题(1)面
,
,
,又
,
[来所以,
面
所以,
(2)
是所求二面角
的平面角,
,
,二面角
的大小的余弦值为
(3)由(1)(2)知
,平面
的法向量为
,
试题解析:(1)证明:面
,
面
所以,
1分
中,
,
同理:,又
,
3分
所以,面
4分
又面
所以,5分
(2)解法一 由(1)证可知是所求二面角
的平面角 6分
在中,
,
;
故,8分
即二面角的大小的余弦值为
9分
解法二:利用向量法
设平面的法向量为
,
由(1)得,
且
解得:,即
; 7分
又平面的法向量为
,
所以,二面角的余弦值为
. 9分
(3)解法一:,
,
,
10分
又,
,
,
(11分)
设点到平面
的距离为
,则
,
解得,即
点到平面
的距离为
. (14分)
解法二:利用向量法
由(1)(2)知,平面
的法向量为
故,点到平面
的距离为
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【题目】为激发学生学习的兴趣,老师上课时在黑板上写出三个集合:
;然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上,并将“
”中的数告诉了他们,要求他们各用一句话来描述,以便同学们能确定该数,以下是甲、乙、丙三位同学的描述:
甲:此数为小于6的正整数;乙:A是B成立的充分不必要条件;
丙:A是C成立的必要不充分条件
若老师评说这三位同学都说得对,则“”中的数为 。
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【题目】用,
,
表示空间中三条不同的直线,
表示平面, 给出下列命题:
① 若,
, 则
∥
; ② 若
∥
,
∥
, 则
∥
;
③ 若∥
,
∥
, 则
∥
; ④ 若
,
, 则
∥
.
其中真命题的序号是( )
A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④
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【题目】已知抛物线上一点
到其焦点
的距离为
,以
为圆心且与抛物线准线
相切的圆恰好过原点
.点
是
与
轴的交点,
两点在抛物线上且直线
过
点,过
点及
的直线交抛物线于
点.
(1)求抛物线的方程;
(2)求证:直线过一定点,并求出该点坐标.
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【题目】朱载堉(1536—1611),明太祖九世孙,音乐家、数学家、天文历算家,在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名,在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子。他对文艺的最大贡献是他创建了“十二平均律”,此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上,包括钢琴,故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”。“十二平均律”是指一个八度有13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍,设第二个音的频率为,第八个音的频率为
,则
等于
A. B.
C.
D.
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【题目】某超市在元旦期间开展优惠酬宾活动,凡购物满100元可抽奖一次,满200元可抽奖两次…依此类推.抽奖箱中有7个白球和3个红球,其中3个红球上分别标有10元,10元,20元字样.每次抽奖要从抽奖箱中有放回地任摸一个球,若摸到红球,根据球上标注金额奖励现金;若摸到白球,没有任何奖励.
(Ⅰ)一次抽奖中,已知摸中了红球,求获得20元奖励的概率;
(Ⅱ)小明有两次抽奖机会,用表示他两次抽奖获得的现金总额,写出
的分布列与数学期望.
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【题目】我校为了让高一学生更有效率地利用周六的时间,在高一新生第一次摸底考试后采取周六到校自主学习,同时由班主任老师值班,家长轮流值班.一个月后进行了第一次月考,高一数学教研组通过系统抽样抽取了名学生,并统计了他们这两次数学考试的优良人数和非优良人数,其中部分统计数据如下:
(1)请画出这次调查得到的列联表;并判定能否在犯错误概率不超过
的前提下认为周六到校自习对提高学生成绩有效?
(2)从这组学生摸底考试中数学优良成绩中和第一次月考的数学非优良成绩中,按分层抽样随机抽取个成绩,再从这
个成绩中随机抽取
个,求这
个成绩来自同一次考试的概率.
下面是临界值表供参考:
(参考公式: ,其中
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