Question

已知椭圆的中心是原点O，焦点在x轴上，过其右焦点F作斜率为1的直线l交椭圆于A．B两点，若椭圆上存在一点C，使四边形OACB为平行四边形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若△OAC的面积为15，求这个椭圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出直线、椭圆的方程，联立方程，利用韦达定理，结合四边形OACB为平行四边形，确定C的坐标，代入椭圆方程，即可求得离心率；
（2）求出AB，原点到直线l的距离，可得△OAB的面积，利用△OAC的面积为15，求这个椭圆的方程．
解答：解：（1）设椭圆方程为，直线l：y=x-c
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为（x，y），则
直线方程代入椭圆方程可得（a²+b²）x²-2a²cx+a²（c²-b²）=0
∴x₁+x₂=，∴x=，y=x-c=
∵四边形OACB为平行四边形
∴C（，）
代入椭圆方程并化简可得4c²=a²+b²
∵b²=a²-c²
∴2a²=5c²
∴e=；
（2）由题意，S_△OAC=S_△OAB
∵直线AB过焦点F，∴AB=AF+FB=（a-ex₁）+（a-ex₁）=2a-e（x₁+x₂）=2a-e•①
∵，∴，
代入①，可得AB=
∵原点到直线l的距离d==
∴△OAB的面积等于=
由，可得a=10，∴b²=60
∴椭圆的方程为．
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．