Question

与圆x²+y²-4y=0外切，又与x轴相切的圆的圆心轨迹方程是（ ）
A．y²=8
B．y²=8x （x＞0）和 y=0
C．x²=8y （y＞0）
D．x²=8y （y＞0）和 x=0 （y＜0）

Answer 1

【答案】分析：设与圆C：x²+y²-4y=0外切，又与x轴相切的圆的圆心M坐标为M（x，y），利用|MC|=|y|+2即可求得答案．
解答：解：依题意，设所求圆的圆心M坐标为M（x，y），
∵所求的圆与圆C：x²+y²-4y=0，即x²+（y-2）²=4外切，又与x轴相切，
∴|MC|=|y|+2
∴=2+|y|，
∴x²+y²-4y+4=4+4|y|+y²，
∴x²=4y+4|y|，
当y＞0时，x²=8y；
当y＜0时，x²=0，即x=0．
∴所求的圆的圆心轨迹方程为：x²=8y（y＞0）和x=0（y＜0）；
故选D．
点评：本题考查曲线的轨迹方程，考查抛物线的标准方程，考查转化思想与方程思想，得到|MC|=|y|+2是关键，属于中档题．