Question

直线l：y=kx+1与双曲线C：3x²-y²=1相交于不同的A，B两点．
（1）求AB的长度；
（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出k的值，若不存在，写出理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题

分析：（1）直接联立直线与双曲线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求得两交点A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得弦长；
（2）把存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点转化为k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，整理后代入根与系数关系求解实数k的值．

解答： 解：联立方程组

y=kx+1 3x2-y2=1

，消去y得（3-k²）x²-2kx-2=0，
∵直线与双曲线有两个交点，
∴

3-k2≠0 △=4k2+8(3-k2)＞0

，解得k²＜6且k²≠3，
x1+x2=

2k

3-k2

，x1x2=

-2

3-k2

．
（1）|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

( 2k 3-k2 )2-4• -2 3-k2

=

2 -k4+5k2+6

|k2-3|

 （k²＜6且k²≠3）．
（2）假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点，
则k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，
即（k+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
∴(k+1)•

-2

3-k2

+k•

2k

3-k2

+1=0，
整理得k²=1，符合条件，
∴k=±1．

点评：本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，训练了利用直线斜率的关系判断两直线的垂直关系，是中档题．