Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

3

，右准线方程为x=

3

3

，
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在以双曲线C的实轴长为直径的圆上，求m的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

3

，右准线方程为x=

3

3

，列出方程组，求出a，c，可求a，即可求双曲线C的方程；
（2）以双曲线实轴长为直径的圆方程为：x²+y²=1，把y=x+m代入双曲线方程，利用韦达定理，求出AB的中点，代入圆方程，即可求m的值．

解答： 解：（1）∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

3

，右准线方程为x=

3

3

，
∴

c a = 3 a2 c = 3 3

，
∴a=1，c=

3

，
∴b=

c2-a2

∴双曲线C的方程为x²-

y2

2

=1---------（4分）
（2）以双曲线实轴长为直径的圆方程为：x²+y²=1，
把y=x+m代入双曲线方程得：x²-2mx-m²-2=0，
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x₀，y₀）  
则有：

△=4m2-4(-m2-2)＞0 x1+x2=2m x1•x2=-m2-2

，
∴x₀=

x1+x2

2

=m，y₀=

y1+y2

2

=

x1+x2

2

+m=2m，
代入圆方程x²+y²=1中得：m²=

1

5

，
∴m=±

5

5

．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．