Question

整数集合内不等式(

1

2

)4-x2＜(

1

2

)2a-2x的解集是{1}，求实数a的范围．

Answer 1

分析：由题意，可先考查y=(

1

2

)x单调性，将不等式转化为一元二次不等式，再由题设条件整数集合内不等式(

1

2

)4-x2＜(

1

2

)2a-2x的解集是{1}，得出参数a所满足的不等式

1-2+a-4＜0 a-4≥0

，解可解出实数a的范围

解答：解：由题意(

1

2

)4-x2＜(

1

2

)2a-2x，由于y=(

1

2

)x是一个减函数
∴4-x²＞2a-2x，即x²-2x+2a-4＜0，令f（x）=x²-2x+2a-4
由于整数集合内不等式(

1

2

)4-x2＜(

1

2

)2a-2x的解集是{1}，
所以有

f(1)=1-2+2a-4＜0 f(2)=f(0)=2a-4≥0

，解得2≤a＜2.5
答：实数a的范围是2≤a＜2.5

点评：本题考查指数函数综合题，考查了指数函数的单调性，一元二次函数的性质，解题的关键是将指数不等式转化为一元二次不等式，本题的难点是理解“整数集合内不等式(

1

2

)4-x2＜(

1

2

)2a-2x的解集是{1}，”由此知，此不等式的解集中只有整数1，从而推断出x=0，x=2时的函数值都是大于等于0的，这为转化出关于a的不等式组提供了依据．本题考查了理解能力及根据性质转化的能力，考查了转化思想，函数思想