Question

已知函数f（x）=x²+2xsinα-1，x∈[-

3

2

，

1

2

]，α∈[0，2π]．
（1）当α=

π

6

时，求f（x）的最大值和最小值，并求使函数取得最值的x的值；
（2）求α的取值范围，使得f（x）在区间[-

3

2

，

1

2

]上是单调函数．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简f（x），由二次函数的最值求法，考虑区间和对称轴的关系，即可得到最值；
（2）求出对称轴，讨论对称轴与区间的关系，运用正弦函数的图象和性质，函数的单调性即可求得α的取值范围．

解答： 解：（1）当α=

π

6

时，f（x）=x²+2xsin

π

6

-1
=x²+x-1=（x+

1

2

）²-

5

4

，
∵x∈[-

3

2

，

1

2

]，
∴当x=-

1

2

时，f（x）取到最小值-

5

4

，当x=

1

2

时，f（x）取到最大值-

1

4

；
（2）函数f（x）=x²+2xsinα-1的图象的对称轴为直线x=-sinα，
当-sinα≤-

3

2

，即sinα≥

3

2

，即

π

3

≤α≤

2π

3

时，函数f（x）在区间[-

3

2

，

1

2

]上是增函数；
当-

3

2

＜-sinα＜

1

2

，即-

1

2

＜sinα＜

3

2

，即0≤α＜

π

3

或

2π

3

＜α＜

7π

6

，
或

11π

6

＜α≤2π时，f（x）在区间[-

3

2

，-sinπ]上为减函数，在[-sinπ，

1

2

]上为增函数；
当-sinα≥

1

2

，即sinα≤-

1

2

，即

7π

6

≤α≤

11π

6

时，函数f（x）在区间[-

3

2

，

1

2

]上是减函数．
综上所述：当

π

3

≤α≤

2π

3

或

7π

6

≤α≤

11π

6

时，函数f（x）在区间[-

3

2

，

1

2

]上是单调函数．

点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论的思想方法，考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题和易错题．