Question

【题目】已知函数，，.

（1）当时，若对任意均有成立，求实数k的取值范围；

（2）设直线与曲线和曲线均相切，切点分别为，，其中.

①求证：；

②当时，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②.

【解析】

（1）对任意均有成立，等价于，所以只要使和，对恒成立，所以构造函数求最小值大于等于零，求其最大值，即可求出k的取值范围；

（2）①由题可知，为曲线和曲线的公切线，则两切点处导数相等，且与连线斜率也相等，再结合，即可证明；

②恒成立等价于，在恒成立，所以构造函数求得其最大值为，而，代换后可求出a的取值范围.

（1）当时，，

由，知：，

①令，对恒成立，

,，，

当，，成立，

当，，，，，

∴，不成立，

∴.

②设，∴，

当时，；

当时，，

∴，∴.

故：实数k的取值范围是.

（2）由已知：，，

①由得：，

由得：，

故，

∵，∴，∴，

故：.

②，在恒成立.

设，，

∴在为减函数，

∴，，

∵，

∴，∴.