Question

6．已知函数f（x）=-x²+2x+t，x∈[t，t+1]．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）若函数f（x）的最大值为1，求t的值．

Answer 1

分析 （1）配方，分类讨论，即可求函数f（x）的最大值；
（2）利用（1）的结论，结合函数f（x）的最大值为1，求t的值．

解答 解：（1）f（x）=-x²+2x+t=-（x-1）²+1+t
t+1＜1，即t＜0时，f（x）_max=f（t+1）=-t²+t+1；
t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，f（x）_max=f（1）=t+1；
t＞1时，f（x）_max=f（t）=-t²+3t，
∴f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{-{t}^{2}+t+1，t＜0}\\{t+1，0≤t≤1}\\{-{t}^{2}+3t，t＞1}\end{array}\right.$；
（2）t＜0时，-t²+t+1=1，不成立；
0≤t≤1时，t+1=1，∴t=0；
t＞1时，-t²+3t=1，t=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$（另一根舍去），
综上，t=0或$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查二次函数在闭区间上的最大值，考查分类讨论的数学思想，正确分类讨论是关键．