Question

已知函数f（x）=．
（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值；
（III）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

解：（I）当a=2时，f（x）=，f′（x）=x-，
∴f′（1）=-1，f（1）=，
故f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y-=-（x-1）
化为一般式可得2x+2y-3=0…..（3分）
（Ⅱ）求导数可得f′（x）=x-=
由a＞0及定义域为（0，+∞），令f′（x）=0，解得x=，
①若≤1，即0＜a≤1，在（1，e）上，f′（x）＞0，f（x）在[1，e]上单调递增，
因此，f（x）在区间[1，e]的最小值为f（1）=．
②若1＜＜e，即1＜a＜e²，在（1，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
在（，e）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因此f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（）=，
③若，即a≥e²在（1，e上，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上单调递减，
因此，f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（e）=．
综上，当0＜a≤1时，f_min（x）=；当1＜a＜e²时，f_min（x）=；
当a≥e²时，f_min（x）=．…．（9分）
（III） 由（II）可知当0＜a≤1或a≥e²时，f（x）在（1，e）上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．
当1＜a＜e²时，要使f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，则
即，此时，e＜a＜．
所以，a的取值范围为（e，）…..（13分）
分析：（Ⅰ）把a=2代入可得f′（1）=-1，f（1）=，进而可得方程，化为一般式即可；
（Ⅱ）可得x=为函数的临界点，分≤1，1＜＜e，，三种情形来讨论，可得最值；
（III）由（II）可知当0＜a≤1或a≥e²时，不合题意，当1＜a＜e²时，需，解之可得a的范围．
点评：本题考查利用导数研究函数的切线，涉及函数的零点和闭区间的最值，属中档题．