Question

【题目】在平面直角坐标系中，定义点P（x1 ， y1）、Q（x2 ， y2）之间的“直角距离”为L（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，已知点A（x，1）、B（1，2）、C（5，2）三点．
（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范围；
（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由定义得|x﹣1|+1＞|x﹣5|+1，

即|x﹣1|＞|x﹣5|，两边平方得8x＞24，

解得x＞3

（2）解：当x∈R时，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，

也就是t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，

因为|x﹣1|﹣|x﹣5|≤|（x﹣1）﹣（x﹣5）|=4，所以t≥4，tmin=4．

故t的最小值为：4

【解析】（1）根据定义写出L（A，B），L（A，C）的表达式，最后通过解不等式求出x的取值范围；（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立即当x∈R时，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，运用分离变量，即有t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，可用绝对值不等式的性质，求得右边的最大值为4，令t不小于4即可．