Question

已知椭圆C的左，右焦点坐标分别为,离心率是。椭圆C的左，右顶点分别记为A,B。点S是椭圆C上位于轴上方的动点，直线AS,BS与直线分别交于M,N两点。

（1）       求椭圆C的方程；

（2）       求线段MN长度的最小值；

（3）       当线段MN的长度最小时，在椭圆C上的T满足：T到直线AS的距离等于.

试确定点T的个数。

 

Answer 1

【答案】

  解（1）因为，且，所以

         所以椭圆C的方程为         …………………………………………….3分

  (2 ) 易知椭圆C的左，右顶点坐标为,直线AS的斜率显然存在，且

         故可设直线AS的方程为，从而

         由得

         设，则，得

         从而，即

         又,故直线BS的方程为

         由得，所以

         故

         又，所以

        当且仅当时，即时等号成立

        所以时，线段MN的长度取最小值        ………………………………..9分

（3）由（2）知，当线段MN的长度取最小值时，

此时AS的方程为，,

     因为点T到直线AS的距离等于，

     所以点T在平行于AS且与AS距离等于的直线上

     设，则由，解得

①  当时，由得

        由于，故直线与椭圆C有两个不同交点

       ②时，由得

由于，故直线与椭圆C没有交点

综上所求点T的个数是2.                ……………………………………………..14分

【解析】略