Question

10．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
p：f（x）=m+2^x为定义在[-1，2）上的“局部奇函数”：
q：曲线g（x）=x²+（5m+1）x+1与x轴交于不同的两点；
若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析 对于p：f（x）=m+2^x为定义在[-1，2）上的“局部奇函数”，因此存在x₀∈[-1，2），使得f（-x₀）+f（x₀）=0=$m+{2}^{-{x}_{0}}$+m+${2}^{{x}_{0}}$=0，m=$-\frac{1}{2}（{2}^{-{x}_{0}}+{2}^{{x}_{0}}）$，令${2}^{{x}_{0}}$=t∈$[\frac{1}{2}，4）$，h（t）=$\frac{1}{t}+t$，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
对于q：曲线g（x）=x²+（5m+1）x+1与x轴交于不同的两点，可得△＞0，解得m范围．由于“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，可得p与q必然一真一假．

解答 解：对于p：f（x）=m+2^x为定义在[-1，2）上的“局部奇函数”，
因此存在x₀∈[-1，2），使得f（-x₀）+f（x₀）=0=$m+{2}^{-{x}_{0}}$+m+${2}^{{x}_{0}}$=0，
m=$-\frac{1}{2}（{2}^{-{x}_{0}}+{2}^{{x}_{0}}）$，
令${2}^{{x}_{0}}$=t∈$[\frac{1}{2}，4）$，h（t）=$\frac{1}{t}+t$，h′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}}$，可得$t∈[\frac{1}{2}，1）$，h′（x）＜0，此时函数h（t）单调递减；
t∈（1，4），h′（x）＞0，此时函数h（t）单调递增．
∴当t=1时，函数h（t）取得最小值，h（1）=2；而$h（\frac{1}{2}）$=$\frac{5}{2}$，h（4）=$\frac{17}{4}$．∴h（t）∈$[2，\frac{17}{4}）$．
∴m∈$（-\frac{17}{8}，-1]$．
q：曲线g（x）=x²+（5m+1）x+1与x轴交于不同的两点，可得△=（5m+1）²-4＞0，解得$m＞\frac{1}{5}$，或m$＜-\frac{3}{5}$．
∵“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，
∴p与q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{17}{8}＜m≤-1}\\{-\frac{3}{5}≤m≤\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m≤-\frac{17}{8}，或m＞-1}\\{m＞\frac{1}{5}，或m＜-\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
解得m∈∅，或$m≤-\frac{17}{8}$，或$m＞\frac{1}{5}$，或$-1＜m＜-\frac{3}{5}$．
∴m的取值范围是$m≤-\frac{17}{8}$，或$m＞\frac{1}{5}$，或$-1＜m＜-\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、简易逻辑的判定方法、二次函数的图象与性质、新定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．