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已知
i
j
是x,y轴正方向的单位向量,设
a
=(x-
3
)
i
+y
j
b
=(x+
3
)
i
+y
j
,且满足
b
i
=|
a
|

(1)求点P(x,y)的轨迹方程;
(2)过点(
3
,0)
的直线l交上述轨迹于A,B两点,且|AB|=8
3
,求直线l的方程.
分析:(Ⅰ)因P(x,y),欲求点M的轨迹C的方程,即寻找x,y之间 的关系式,利用向量间的关系求出P点的坐标后代入
b
i
=|
a
|
即可得;
(Ⅱ)先设直线l的方程,将其与(1)中结论方程组成方程组,再利用两点间的距离公式列出关于直线方程中参数的等式,由此式即可求得参数,从而求得直线l的方程.
解答:解:(1)∵
b
i
=(x+
3
)
i
2
+y
i
j
=x+
3
,(2分)
x+
3
=
(x-
3
)
2
+y2
,(5分)
化简得y2=4
3
x
,(8分)
(2)设l:x=ty+
3
,由
x=ty+
3
y2=4
3
x
?y2=4
3
(ty+
3
)?y2-4
3
ty-12=0
(10分)
设A(x1,y1)、B(x2,y2)由|AB|=8
3
1+
1
t2
|y1-y2|=
1+
1
t2
(y1+y2)2-4y1y2
=
1+
1
t2
(4
3
t)
2
+48
=8
3
(12分)
1+
1
t2
t2+1
=2?t2=1?t=±1
,(14分)
所以直线l的方程为x-y-
3
=0
x+y-
3
=0
.(16分)
点评:求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题.求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程.
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相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知i,j是x,y轴正方向上的单位向量,设a=(x-
3
)i+yj,b=(x+
3
)i+yj,,且满足|a|+|b|=4.
(1)求点P(x,y)的轨迹C的方程;
(2)如果过点Q(0,m)且方向向量为c=(1,1)的直线l与点P的轨迹交于A,B两点,当△AOB的面积取到最大值时,求m的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知
i
j
是x,y轴正方向的单位向量,设
a
=(x+2)
i
+y
j
b
=(x-2)
i
+y
j
,且满足|
a
|-|
b
|=2

(1)求点P(x,y)的轨迹E的方程.
(2)若直线l过点F2(2,0)且法向量为
n
=(t,1),直线与轨迹E交于P、Q两点.点M(-1,0),无论直线l绕点F2怎样转动,
MP
MQ
是否为定值?如果是,求出定值;如果不是,请说明理由.并求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•江西模拟)已知
i
j
是x,y轴正方向的单位向量,设
a
=x
i
+(y-1)
j
b
=x
i
+(y+1)
j
,且满足|
a
|+|
b
|=2
2

(1)求点P(x,y)的轨迹C的方程;
(2)设点F(0,1),点A、B、C、D在曲线C上,若
AF
FB
共线,
CF
FD
共线,且
AF
CF
=0
,求四边形ACBD的面积的最小值和最大值.

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科目:高中数学 来源:2011年高考数学复习:8.9 曲线与方程(理科)(解析版) 题型:解答题

已知i,j是x,y轴正方向上的单位向量,设a=(x-)i+yj,b=(x+)i+yj,,且满足|a|+|b|=4.
(1)求点P(x,y)的轨迹C的方程;
(2)如果过点Q(0,m)且方向向量为c=(1,1)的直线l与点P的轨迹交于A,B两点,当△AOB的面积取到最大值时,求m的值.

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