Question

20．已知函数f（x）=x²+ax+b．
（1）若对任意的实数x，都有f（x）≥2x-1+b，求a的取值范围；
（2）当x∈[-1，1]时，f（x）的最大值为-2，求a²+b²的取值范围．
（3）已知a∈（0，$\frac{1}{2}$），对于任意的x∈[-1，1]，都有|f（x）|≤1．请用a表示b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知便可得到ax≥-x²+2x-1恒成立，可以想着两边同除以x，从而讨论x是否为0：x=0时，显然对任意a∈R都成立，而a≠0时，两边可同除以x从而根据基本不等式即可得到a的取值范围；
（2）f（x）的最大值为-2，从而有$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=1-a+b≤-2}\\{f（1）=1+a+b≤-2}\end{array}\right.$，进一步可得到$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-2ab+{b}^{2}≥9}\\{{a}^{2}+2ab+{b}^{2}≥9}\end{array}\right.$，从而两不等式相加即可得出a²+b²的取值范围；
（3）求f（x）的对称轴x=$-\frac{a}{2}$，根据a的范围便得到$-\frac{a}{2}∈（-\frac{1}{4}，0）$，从而f（x）的最大值为f（1）=1+a+b，而最小值便为$f（-\frac{a}{2}）=b-\frac{{a}^{2}}{4}$，而根据条件知-1≤f（x）≤1，这样便得到$\left\{\begin{array}{l}{1+a+b≤1}\\{b-\frac{{a}^{2}}{4}≥-1}\end{array}\right.$，这样解出b的取值范围即可．

解答 解：（1）根据条件，x²+ax+b≥2x-1+b恒成立；
∴ax≥-x²+2x-1恒成立；
①若x=0，0≥-1，显然对任意a都成立；
②若x＞0，a≥$-x-\frac{1}{x}+2$；
∵$x+\frac{1}{x}≥2$；
∴$-x-\frac{1}{x}+2≤0$；
∴a≥0；
③若x＜0，$a≤-x-\frac{1}{x}+2$；
$-x-\frac{1}{x}+2≥4$；
∴a≤4；
∴0≤a≤4；
∴a的取值范围为：[0，4]；
（2）根据条件：$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=1-a+b≤-2}\\{f（1）=1+a+b≤-2}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{b-a≤-3}\\{a+b≤-3}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}-2ab+{a}^{2}≥9}\\{{a}^{2}+2ab+{b}^{2}≥9}\end{array}\right.$，两式相加得2（a²+b²）≥18；
∴a²+b²≥9；
∴a²+b²的取值范围为：[9，+∞）；
（3）f（x）=x²+ax+b=$（x+\frac{a}{2}）^{2}+b-\frac{{a}^{2}}{4}$；
∵$a∈（0，\frac{1}{2}）$；
∴$-\frac{a}{2}∈（-\frac{1}{4}，0）$；
∴f（x）的最小值为f（$-\frac{a}{2}$）=$b-\frac{{a}^{2}}{4}$，最大值为f（1）=1+a+b；
∵对任意的x∈[-1，1]，都有|f（x）|≤1，即-1≤f（x）≤1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{b-\frac{{a}^{2}}{4}≥-1}\\{1+a+b≤1}\end{array}\right.$；
∴$\frac{{a}^{2}}{4}-1≤b≤-a$；
∴b的取值范围为：$[\frac{{a}^{2}}{4}-1，-a]$．

点评 考查不等式的性质，基本不等式用于求取值范围，函数最大值的概念，配方求二次函数最值的方法，解绝对值不等式，以及二次函数的对称轴．