Question

已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点．

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体解法是先确定焦点的位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．（Ⅱ）与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强，解决的思路有两种：一是由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中Δ的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量如长度、面积、代数式等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向量，不等式的应用．

试题解析：（Ⅰ）由已知得椭圆的半长轴，半焦距，则半短轴．

又椭圆的焦点在轴上，∴椭圆的标准方程为． 4分

（Ⅱ）当直线垂直于轴时，，因此的面积．

当直线不垂直于轴时，该直线方程为，代入，

解得B（,），C（－,－），

则，又点A到直线的距离，

∴△ABC的面积．

于是．

由，得，其中当时，等号成立．

∴的最大值是． 10分

考点：椭圆方程及综合问题