Question

无穷等差数列{a_n}的各项均为整数，首项为a₁、公差为d，3、21、15是其中的三项，给出下列命题；
①存在满足条件的数列{a_n}，使得对任意的n∈N^*，S_2n=4S_n成立．
②对任意满足条件的d，存在a₁，使得99一定是数列{a_n}中的一项；
③对任意满足条件的d，存在a₁，使得30一定是数列{a_n}中的一项；
其中正确命题为

①②

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：首先根据条件得出d≤6，①利用等差数列的前n项和公式化简S_2n=4S_n，得出结论；②99-21=78能被6整除，且

78

6

=13，假设15和21之间有n项，那么99和21之间有13n项，得出结论；③30-21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是数列{a_n}中的一项，得出结论．

解答：解：根据条件等差数列的其中三项：3、15、21，
可以得到一个信息，d≤6；
①如果有S_2n=4S_n，那么由等差数列求和公式有：2na₁+n（2n-1）•d=4[na₁+

n(n-1)d

2

]，化简得到，d=2a₁，
所以只要满足条件d=2a₁的数列{a_n}，就能使得对任意的n∈N^*，S_2n=4S_n成立，
②99-21=78能被6整除，且

78

6

=13，假设15和21之间有n项，那么99和21之间有13n项，所以99一定是数列{a_n}中的一项，正确 
③30-21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是数列{a_n}中的一项，错误．
正确综上所述，①②正确
故答案为：①②．

点评：本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式的应用，解题的关键是根据条件得出公差．属于中档题．