Question

给出下列命题：
①函数y=

x2-8x+20

+

x2+1

的最小值为5；
②若直线y=kx+1与曲线y=|x|有两个交点，则k的取值范围是-1≤k≤1；
③若直线m被两平行线l₁：x-y+1=0与l₂：x-y+3=0所截得的线段的长为2

2

，则m的倾斜角可以是15°或75°
④设S_n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a_n}的前n项和，若对任意n∈N^*，均有S_n＞0，则数列{S_n}是递增数列
⑤设△ABC的内角A．B．C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA则sinA：sinB：sinC为6：5：4
其中所有正确命题的序号是

①③④⑤

．

Answer 1

分析：①化y=

x2-8x+20

+

x2+1

=

(x-4)2+4

+

x2+1

=

(x-4)2+(0-2)2

+

(x-0)2+[0-(-1)]2

，几何意义为x轴上点（x，0）到两定点（4，2），（0，-1）距离．数形结合求出最小值．
②在同一坐标系内作出y=kx+1与y=|x|的图象，可知当k=±1时，有一个交点．
③先求两平行线间的距离，结合题意直线m被两平行线l₁与l₂所截得的线段的长为2

2

，求出直线m与l₁的夹角为30°，推出结果．
④a₁=S₁＞0，若d＜0，则数列数列{a_n}为递减数列，总存在n∈N^*，使得S_n＜0，假设不成立．
⑤由题意可得三边即 a、a-1、a-2，由余弦定理可得 cosA=

a-5

2(a-2)

，再由3b=20acosA，可得 cosA=

3b

20a

=

3a-3

20a

，从而可得

a-5

2(a-2)

=

3a-3

20a

，由此解得a=6，可得三边长，根据sinA：sinB：sinC=a：b：c，求得结果

解答：解：①y=

x2-8x+20

+

x2+1

=

(x-4)2+4

+

x2+1

=

(x-4)2+(0-2)2

+

(x-0)2+[0-(-1)]2

即求x轴上点（x，0）到两定点（4，2），（0，-1）距离和的最小值 而两点位于x轴的两侧，所以最小值即两点的距离最短

(4-0)2+(2+1)2

=5①正确
②在同一坐标系内作出y=kx+1与y=|x|的图象，可知当k=±1时，有一个交点．②错误

③两平行线间的距离为d=

|3-1|

1+1

=2

2

，
由图知直线m与l₁的夹角为30°，l₁的倾斜角为45°，
所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°-30°=15°．③正确
④若对任意n∈N^*，均有S_n＞0，则a₁=S₁＞0，若d＜0，则数列数列{a_n}为递减数列，总存在n∈N^*，使得S_n＜0，假设不成立，必有d＞0，数列{S_n}是递增数列．④正确．
⑤由于a，b，c 三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，可设三边长分别为 a、a-1、a-2．
由余弦定理可得 cosA=

a-5

2(a-2)

，又3b=20acosA，可得 cosA=

3b

20a

=

3a-3

20a

从而可得

a-5

2(a-2)

=

3a-3

20a

，解得a=6，故三边分别为6，5，4．
由正弦定理可得 sinA：sinB：sinC=a：b：c=a：（a-1）：（ a-2）=6：5：4，⑤正确
综上所述，正确答案序号为①③④⑤
故答案为：①③④⑤

点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了函数最值，图象与性质，两条直线夹角，数列的单调性，正弦定理、余弦定理的应用．属于中档题．