Question

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的“l高调函数”．现给出下列命题：
①函数f（x）=2^x为R上的“1高调函数”；
②函数f（x）=sin2x为R上的“A高调函数”；
③如果定义域为[-1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上“m高调函数”，那么实数m的取值范围是[2，+∞）；
其中正确的命题是

①②③

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：①函数f（x）=2^x为增函数，存在正实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈M，且f（x+l）≥f（x），满足高调函数定义；
②由正弦函数知函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；
③函数f（x）=x²为[-1，+∞）上m高调函数，只有[-1，1]上至少需要加2．

解答：解：对于①，函数f（x+l）=2x+l，f（x）=2x，
要使f（x+l）≥f（x），需要2x+l≥2x恒成立，只需l≥0；
即存在l使得f（x+l）≥f（x）在R恒成立，
∴函数f（x）=2x是R上的1（l≥0）高调函数，故①正确；
对于②，∵sin2（x+π）≥sin2x，
∴函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数，故②正确；
对于③，∵如果定义域为[1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上m高调函数，
只有[-1，1]上至少需要加2，实数m的取值范围是[2，+∞），故③正确，
综上，正确的命题序号是①②③．
故答案为：①②③

点评：此题属于新定义的题型，涉及的知识有：函数单调性的判断与证明，以及基本初等函数的性质，其中认真审题，弄清新定义的本质，找到判断的标准是解本题的关键．属于中档题