Question

已知f(x)=

3+x 1+x2 ，0≤x≤3 f(3)，x＞3.

（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）-a=0恰有一个实数解，求实数a的取值范围；
（3）已知数列{an}满足：0＜an≤3，n∈N*，且a1+a2+a3+…a2009=

2009

3

，若不等式f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）≤x-ln（x-p）在x∈（p，+∞）时恒成立，求实数p的最小值．

Answer 1

分析：（1）当x＞3时，f(x)=f(3)=

3

5

是常数，不是单调函数，在0≤x≤3上解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间；
（2）由（1）知函数的最值，要使方程f（x）-a=0恰有一个实数解，表示直线y=a与函数f（x）的图象有且只有一个交点，从而求出a的范围；
（3）先求出a1=a2=…=a2009=

1

3

时f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）的值，然后利用函数图象与切线的位置关系证明f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）≤6027，最后求出x-ln（x-p）的最小值，时最小值大于等于6027即可．

解答：解：（1）当x＞3时，f(x)=f(3)=

3

5

是常数，不是单调函数；
当0≤x≤3时，f（x）=

3+x

1+x2

，
令f'（x）＞0解得x∈（0，

10

-3）
与f'（x）＜0解得x∈（

10

-3，3）
∴f（x）的单调增区间是（0，

10

-3）
f（x）的单调减区间是（

10

-3，3）
（2）由（1）知，f(0)=3，f(x)max=f(

10

-3)=

1

2( 10 -3)

=

10 +3

2

，f(3)=

3

5

则方程f（x）-a=0恰有一个实数解
表示直线y=a与函数f（x）的图象有且只有一个交点
则

3

5

＜a＜3，或a=

10 +3

2

（3）a1=a2=…=a2009=

1

3

时f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）=6027
f（x）=

3+x

1+x2

在x=

1

3

处的切线为y=

3

10

(11-3x)
则有f(x)=

3+x

1+x2

≤

3

10

(11-3x)?(x-3)(x-

1

3

)2≤0成立
∴f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）≤6027
设g（x）=x-ln（x-p），g'（x）＞0解得x＞p+1
g'（x）＜0解得p＜x＜p+1，∴g（x）的最小值为p+1
只需p+1≥6027
∴p的最小值为6026

点评：本题主要考查了分段函数的应用，以及数列与函数的综合，同时考查了分析问题解决问题的能力，属于难题．