Question

6．课本上的探索与研究中有这样一个问题：
已知△ABC的面积为S，外接圆的半径为R，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，用解析几何的方法证明：$R=\frac{abc}{4S}$．
小东根据学习解析几何的经验，按以下步骤进行了探究：
（1）在△ABC所在的平面内，建立直角坐标系，使得△ABC三个顶点的坐标的表示形式较为简单，并设出表示它们坐标的字母；
（2）用表示△ABC三个顶点坐标的字母来表示△ABC的外接圆半径、△ABC的三边和面积；
（3）根据上面得到的表达式，消去表示△ABC的三个顶点的坐标的字母，得出关系式．
在探究过程中，小东遇到了以下问题，请你帮助完成：
（Ⅰ）为了△ABC的三边和面积表达式及外接圆方程尽量简单，小东考虑了如下两种建系方式；你选择第①种建系方式．
（Ⅱ）根据你选择的建系方式，完成以下部分探究过程：
（1）设△ABC的外接圆的一般式方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0；
（2）在求解圆的方程的系数时，小东观察图形发现，由圆的几何性质，可以求出圆心的横坐标为$\frac{m+n}{2}$，进而可以求出D=-m-n；
（3）外接圆的方程为x²+y²+（-m-n）x+（-p-$\frac{mn}{p}$）y+mn=0．

Answer 1

分析 选择坐标系，利用待定系数法，即可得出结论．

解答 解：设△ABC的外接圆的一般式方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，则D=-m-n，
∴方程为x²+y²+（-m-n）x+Ey+F=0，
代入（0，p），（n，0），可得$\left\{\begin{array}{l}{{p}^{2}+Ep+F=0}\\{{n}^{2}+（-m-n）n+F=0}\end{array}\right.$，
∴F=mn，E=-p-$\frac{mn}{p}$，
∴外接圆的方程为x²+y²+（-m-n）x+（-p-$\frac{mn}{p}$）y+mn=0．
故答案为：①；Ey+F；$\frac{m+n}{2}$；-m-n；x²+y²+（-m-n）x+（-p-$\frac{mn}{p}$）y+mn=0．

点评 本题考查圆的方程，考查待定系数法的运用，正确建立坐标系是关键．