Question

19．设函数f（x）=a^x+b^x-c^x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是①②③写出所有正确结论的序号）
①x∈（-∞，1），f（x）＞0；
②若x₀∈R，使ax₀，bx₀，cx₀不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则?x₀∈（1，2），使f（x₀）=0；
④若△ABC为直角三角形，对于n∈N*，f（2n）＞0恒成立．

Answer 1

分析 ①依题意，可得0＜$\frac{a}{c}$＜1，0＜$\frac{b}{c}$＜1，故当x∈（-∞，1）时，f（x）=c^x[${（\frac{a}{c}）}^{x}$+${（\frac{b}{c}）}^{x}$-1]＞c^x（$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$-1）=c^x•$\frac{a+b+c}{c}$＞0，可判断①正确；
②令a=2，b=3，c=4，则a，b，c可以构成三角形的三边长，但a²=4，b²=9，c²=16却不能构成三角形的三边长，可判断②正确；
③由c＞a＞0，c＞b＞0，且△ABC为钝角三角形，可知a²+b²-c²＜0，故f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0，利用零点存在定理可判断③正确；
④若△ABC为直角三角形，则c²=a²+b²，对于n∈N*，f（2n）=a²ⁿ+b²ⁿ-c²ⁿ=a²ⁿ+b²ⁿ-（a²+b²）ⁿ≤0，可判断④不正确．

解答 解：①因为a，b，c是三角形的三条边长，所以a+b＞c，又因为c＞a＞0，c＞b＞0，所以0＜$\frac{a}{c}$＜1，0＜$\frac{b}{c}$＜1，所以当x∈（-∞，1）时，f（x）=c^x[${（\frac{a}{c}）}^{x}$+${（\frac{b}{c}）}^{x}$-1]＞c^x（$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$-1）=c^x•$\frac{a+b-c}{c}$＞0，故①正确；
②令a=2，b=3，c=4，则a，b，c可以构成三角形的三边长，但a²=4，b²=9，c²=16却不能构成三角形的三边长，故②正确；
③因为c＞a＞0，c＞b＞0，且△ABC为钝角三角形，所以a²+b²-c²＜0，于是f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0，故函数f（x）在区间（1，2）内存在零点，即?x₀∈（1，2），使f（x₀）=0，故③正确；
④若△ABC为直角三角形，由题意得，c²=a²+b²，对于n∈N*，f（2n）=a²ⁿ+b²ⁿ-c²ⁿ=a²ⁿ+b²ⁿ-（a²+b²）ⁿ≤0，故④不正确．
综上，正确结论的序号为①②③．
故答案为：①②③．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查在条件c＞a＞0，c＞b＞0下，函数f（x）=a^x+b^x-c^x的性质的应用，考查转化思想与综合运用能力，属于难题．