Question

如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=，点E、F分别为棱AB、PD的中点．

（1）求证：AF∥平面PCE；

（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；

（3）求三棱锥C－BEP的体积．

 

Answer 1

解：证明: （1）取PC的中点G，连结FG、EG

∴FG为△CDP的中位线  ∴FGCD

∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点

∴ABCD    

∴FGAE

∴四边形AEGF是平行四边形 

∴AF∥EG                       

又EG平面PCE，AF平面PCE 

∴AF∥平面PCE                                                (4分)

     （2）∵ PA⊥底面ABCD

∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PAAD=A

∴CD⊥平面ADP

又AF平面ADP         ∴CD⊥AF

直角三角形PAD中，∠PDA=45°

∴△PAD为等腰直角三角形   ∴PA＝AD=2 

∵F是PD的中点

∴AF⊥PD，又CDPD=D

∴AF⊥平面PCD 

∵AF∥EG

∴EG⊥平面PCD                   

又EG平面PCE

平面PCE⊥平面PCD                                         (8分)

（3）三棱锥C－BEP即为三棱锥P－BCE    

PA是三棱锥P－BCE的高，

Rt△BCE中，BE=1，BC=2，

∴三棱锥C－BEP的体积

VC－BEP=VP－BCE=      (12分)