Question

已知函数（a＞1），求证：
（1）函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）方程f（x）=0没有负数根．

Answer 1

证明：（1）设-1＜x₁＜x₂，
则
=，
∵-1＜x₁＜x₂，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0，
∴；
∵-1＜x₁＜x₂，且a＞1，∴，∴，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）假设x₀是方程f（x）=0的负数根，且x₀≠-1，则，
即，①
当-1＜x₀＜0时，0＜x₀+1＜1，∴，
∴，而由a＞1知．∴①式不成立；
当x₀＜-1时，x₀+1＜0，∴，∴，而．
∴①式不成立．综上所述，方程f（x）=0没有负数根．
分析：（1）证明函数的单调性，一个重要的基本的方法就是根据函数单调性的定义；
（2）对于否定性命题的证明，可用反证法，先假设方程f（x）=0有负数根，经过层层推理，最后推出一个矛盾的结论．
点评：（1）函数的单调性就是随着x的变大，y在变大就是增函数，y变小就是减函数，具有这样的性质就说函数具有单调性，符号表示：就是定义域内的任意取x1，x2，且x1＜x2，比较f（x1），f（x2）的大小 （当f（x1）＜f（x2）则是增函数，当f（x1）＞f（x2）则是减函数）；
（2）方程的根，就是指使方程成立的未知数的值．对于结论是否定形式的命题，往往反证法证明．