Question

（08年聊城市一模） （12分）三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，AB⊥BC，E是A₁C的中点，ED⊥A₁C，ED与AC交于点D，A₁A=AB=BC。

   （I）证明：B₁C₁∥平面A₁BC；

   （II）证明：A₁C⊥平面EDB；

   （III）求平面A₁AB与平面EDB所成的二面角的大小（仅考虑平面角为锐角的情况）。

 

Answer 1

解析：（I）证：∵三棱柱ABC―A₁B₁C₁中B₁C₁∥BC，

又BC平面A₁BC，且B₁C₁平面A₁BC，

∴B₁C₁∥平面A₁BC。…………3分

   （II）证：∵三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，A₁A⊥AB，

∴BC=A₁B，∴△A₁BC是等腰三角形。…………4分

∵E是等腰△A₁BC底边A₁C的中点，

∴A₁C⊥BE。     ①…………5分

又依条件知A₁C⊥ED，  ②

且ED∩BE=E，  ③

由①②③，得A₁C⊥平面EDB。…………7分

   （III）方法一：解：如图建立空间直角坐标系，不妨设|AB|=1，则|BC|=，|AC|=

∵BD⊥A₁A，BD⊥AC，A₁A∩AC=A，∴BD⊥平面A₁AC，∴BD⊥AC。

 …………8分

令 …………10分

∴平面A₁AB与平面EDB所成二面角的大小为            …………12分

方法二：解：∵A₁A、ED平面A₁AC，且A₁A、ED不平行，

故延长A₁A，ED后必相交，设交点为F，连接BF，如图，

∴A₁―BF―E是所求的二面角。                           …………9分

依条件易证明≌

∵E为A₁C中点，∴A为A₁F中点。∴AF=A₁A=AB。

∴∠A₁BA=∠ABF=45°。

∴∠A₁BF=90°

即A₁B⊥FB，又A₁E⊥平面EFB，∴EB⊥FB。

∴∠A₁BE是所求的二面角的平面角。                      …………11分

∵E为等腰直角三形A₁BC底边中点，∴∠A₁BE=45°。

故所求二面角的大小为45°。                            …………12分