Question

19．三棱锥P-ABC中，AB=AC=2$\sqrt{10}$，BC=4，PC=点2$\sqrt{11}$，P在平面ABC内的射影恰为△ABC的重心G（即△ABC三条中线的交点）．
（1）求证：BC⊥平面PAG；
（2）求二面角B-AP-G大小的正切值．

Answer 1

分析 （1）取BC中点D，连接AD、PD，由已知条件推导出PG⊥BC，AG⊥BC，由此能证明BC⊥平面PAG．
（2）以过G作BC的平行线为x轴，AG为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AP-G大小的正切值．

解答 （1）证明：取BC中点D，连接AD、PD，
∵PG⊥平面ABC，∴PG⊥BC，
等腰△ABC中，G为重心，∴AG⊥BC，
∴BC⊥平面PAG．
（2）△ABC中，AD=6，∴GD=2，
∵BC⊥平面PAG，∴CD⊥PD，
∴PD=2$\sqrt{10}$，∴GP=6，
过G作BC的平行线为x轴，AG为y轴，GP为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意知B（2，2，0），C（-2，2，0），P（0，0，6），A（0，-4，0），
∴M（0，-2，3），
$\overrightarrow{AB}$=（2，6，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，4，6），
设平面APB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2x+6y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=4y+6z=0}\end{array}\right.$，取x=9，得$\overrightarrow{n}$=（9，-3，2），
又平面APG的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设二面角B-AP-G的平面角为θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$|=$\frac{9}{\sqrt{94}}$，
∴tanθ=$\frac{\sqrt{13}}{9}$，
∴二面角B-AP-G大小的正切值为$\frac{\sqrt{13}}{9}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，是中档题．