Question

11．若点A（$\sqrt{2}$，2）在幂函数f（x）的图象上，点B（-2，$\frac{1}{4}$）在幂函数g（x）的图象上，定义h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）}&{f（x）≤g（x）}\\{g（x）}&{f（x）＞g（x）}\end{array}\right.$．
（1）试求函数h（x）的最小值以及单调区间；
（2）若方程h（x）-k=0在R上有四解，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出分段函数的解析式，然后求解函数的最值以及函数的单调区间．
（2）画出函数的图象，利用方程的四个解，推出k的范围．

解答 解：（1）设f（x）=x^α，点A（$\sqrt{2}$，2）在幂函数f（x）的图象上，
可得2=$（\sqrt{2}）^{α}$，α=2，f（x）=x²．
设g（x）=x^α，点B（-2，$\frac{1}{4}$）在幂函数g（x）的图象上，
可得$\frac{1}{4}={（-2）}^{α}$，解得α=-2，
g（x）=x^-2．
h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）}&{f（x）≤g（x）}\\{g（x）}&{f（x）＞g（x）}\end{array}\right.$．
可得h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}，x∈（-∞，-1]∪[1，+∞）\\{x}^{-2}，x∈（-1，0）∪（0，1）\end{array}\right.$．函数的图象如图：

函数的最小值为1，单调减区间为：（-∞，-1），（0，1）；单调增区间（-1，0），（1，+∞）．
（2）方程h（x）-k=0在R上有四解，
可知y=h（x）与y=k有四个交点．由函数的图象可知k＞1．

点评 本题考查函数的图象，幂函数的解析式的求法，函数的零点的个数，考查计算能力．