Question

1．已知函数f（x）=lnx，g（x）=$\frac{t}{x}$-lnx．
（1）如果函数g（x）≤f（x）恒成立，求t的取值范围；
（2）设函数F（x）=f（x）-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{ex}$．试问函数F（x）是否存在零点，若存在，求出零点个数，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把恒成立问题转换为求2xlnx的最小值问题，利用导数求出最小值
（2）把函数整理成F（x）=lnx-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{ex}$≥$-\frac{1}{ex}$-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{ex}$=$\frac{1}{x}$（$\frac{1}{e}$-$\frac{x}{{e}^{x}}$），要判断是否有零点，只需看F（x）的正负问题，令G（x）=$\frac{1}{e}$-$\frac{x}{{e}^{x}}$，利用导数分析G（x）

解答 解：（1）∵$\frac{t}{x}$-lnx≤lnx恒成立，
∴t≤2xlnx恒成立．
令h（x）=2xlnx，
h'（x）=2（1+lnx），
当x∈（0，$\frac{1}{e}$）时，h'（x）＜0，h（x）递减；
当x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）递增；
∴h（x）的最小值为h（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{2}{e}$，
∴t≤-$\frac{2}{e}$．
（2）由（1）知，2xlnx≥-$\frac{2}{e}$，
∴lnx≥$-\frac{1}{ex}$，
F（x）=f（x）-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{ex}$  ①
∴F（x）=lnx-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{ex}$≥$-\frac{1}{ex}$-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{ex}$=$\frac{1}{x}$（$\frac{1}{e}$-$\frac{x}{{e}^{x}}$），
令G（x）=$\frac{1}{e}$-$\frac{x}{{e}^{x}}$则g'（x）=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，
当x∈（0，1）时，G'（x）＜0，G（x）递减；
当x∈（1，+∞）时，G'（x）＞0，G（x）递增；
∴G（x）≥G（1）=0   ②
∴F（x）=lnx-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{ex}$≥$-\frac{1}{ex}$-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{ex}$=$\frac{1}{x}$（$\frac{1}{e}$-$\frac{x}{{e}^{x}}$）≥0，
∵①②中取等号的条件不同，
∴F（x）＞0，
故函数没有零点．

点评 考查了恒成立问题和利用导函数研究原函数的最值问题．