Question

11．已知该球的直径SC=8，A，B是该球球面上的两点，AB=2$\sqrt{3}$，∠SCA=∠SCB=60°，则球心O到平面ABC的距离为（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． $\frac{24\sqrt{13}}{13}$
• C． $\frac{12\sqrt{13}}{13}$
• D． 8$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 画出图形，利用已知条件求出AC，BC，利用等体积方法，求解球心O到平面ABC的距离．

解答 解：如图：球的直径SC=8，A，B是该球球面上的两点，AB=2$\sqrt{3}$，∠SCA=∠SCB=60°，半径为4，
可得AC=BC=4，AD=BD=2$\sqrt{3}$，
球心O到平面ABC的距离为h，E为AB的中点，CE=$\sqrt{{4}^{2}-{（\sqrt{3}）}^{2}}$，
DE=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=3．
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{{4}^{2}-（{\sqrt{3}）}^{2}}$=$\sqrt{39}$．
过AB的小圆的圆心为D．
${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×3$=3$\sqrt{3}$，
V_O-ABC=$\frac{1}{3}{•S}_{△ABC}•h=\frac{1}{3}•{S}_{△ABD}•OC$，
化简可得$\sqrt{39}h=3×4\sqrt{3}$，解得h=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$．
故选：C．

点评 本题考查了学生的空间想象力，等体积法的应用，开学转化思想以及计算能力．属于中档题．