Question

10．解方程：
（1）3×|2x-1|-1=5；
（2）|x-|2x+1||=3；
（3）|x-2|+|x+5|=6；
（4）|x-5|+$\sqrt{（4-x）^{2}}$=1．

Answer 1

分析 （1）化简方程，去掉绝对值即可；
（2）先去掉绝对值，把方程可化为x-|2x+1|=3①和x-|2x+1|=-3②，分别求出方程的解；
（3）讨论x的取值范围，去掉方程中的绝对值，求出原方程的解；
（4）把原方程化为|x-5|+|x-4|=1，讨论x的取值范围，去掉绝对值，求出方程的解．

解答 解：（1）∵3×|2x-1|-1=5，
∴3×|2x-1|=6，
∴|2x-1|=2，
∴2x-1=2或2x-1=-2，
解得x=$\frac{3}{2}$或x=-$\frac{1}{2}$；
（2）∵|x-|2x+1||=3，∴该方程可化为
x-|2x+1|=3①或x-|2x+1|=-3②，
由①得，x-3=|2x+1|，
两边平方得（x-3）²=（2x+1）²，
化简得3x²+10x-8=0，
解得x=-4或x=$\frac{2}{3}$，
经检验，x=-4和x=$\frac{2}{3}$都不是原方程的解；
由②得，x+3=|2x+1|，
两边平方得，（x+3）²=（2x+1）²，
解得x=2或x=-$\frac{4}{3}$，
经检验x=2和x=-$\frac{4}{3}$都是原方程的解；
综上，原方程的解为x=2或x=-$\frac{4}{3}$；
（3）∵|x-2|+|x+5|=6，
∴当x≥2时，方程化为（x-2）+（x+5）=6，解得x=$\frac{3}{2}$，不合题意，应舍去；
当-5＜x＜2时，方程化为（2-x）+（x+5）=6，即7=6，不合题意，应舍去；
当x≤-5时，方程化为（2-x）+（-x-5）=6，解得x=-$\frac{9}{4}$，不合题意，应舍去；
综上，该方程无解；
（4）∵|x-5|+$\sqrt{（4-x）^{2}}$=1，∴|x-5|+|x-4|=1
∴当x≥5时，方程化为（x-5）+（x-4）=1，解得x=5，满足题意；
当4＜x＜5时，方程化为（5-x）+（x-4）=1，即1=1，∴4＜x＜5，满足合题意；
当x≤4时，方程化为（5-x）+（4-x）=1，解得x=4，满足题意；
综上，该方程的解是[4，5]．

点评 本题考查了含有绝对值的方程的解法与应用问题，解题的关键是去掉绝对值，是综合性题目．