Question

12．已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，
（1）四棱锥P-ABCD的体积是$\frac{27}{2}$；
（2）四棱锥P-ABCD中直线PB与直线AC所成角的大小是$arccos\frac{\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）画出几何体的直观图，利用三视图得到数据，直接求解几何体是体积即可．
（2）分别求出两条直线所在的向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为两条直线的夹角．

解答 解：（1）由题意可知几何体的直观图如图：
可设PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，DC⊥AD，则PA=3，AD=3，DC=3，AB=6，
几何体的体积为：V=$\frac{1}{3}{S}_{ABCD}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{3+6}{2}×3×3$=$\frac{27}{2}$．
（2）以A为坐标原点AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则各点坐标为A（0，0，0），B（0，6，0），C（3，3，0），D（3，0，0），P（0，0，3），
因$\overrightarrow{AC}$=（3，3，0），$\overrightarrow{PB}$=（0，6，-3），
故|$\overrightarrow{AC}$|=$3\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{PB}$|=$3\sqrt{5}$，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{PB}$=18，
所以cos＜$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{PB}$＞═$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|\left|\overrightarrow{PB}\right|}$=$\frac{18}{3\sqrt{2}×3\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
直线PB与直线AC所成角的大小是＜$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{PB}$＞=arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故答案为：$\frac{27}{2}$；$arccos\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，有利于建立空间直角坐标系，利用向量的有关运算解决空间角与空间距离等问题．